Distribución normal y binomial

 DISTRIBUCION BINOMIAL

En estadística, la distribución binomial es una distribución de probabilidad discreta que mide el número de éxitos en una secuencia de n ensayos independientes de Bernoulli con una probabilidad fija p de ocurrencia del éxito entre los ensayos.

Un experimento de Bernoulli se caracteriza por ser dicotómico, esto es, sólo son posibles dos resultados. A uno de estos se denomina éxito y tiene una probabilidad de ocurrencia p y al otro, fracaso, con una probabilidad q = 1 - p. En la distribución binomial el anterior experimento se repite n veces, de forma independiente, y se trata de calcular la probabilidad de un determinado número de éxitos. Para n = 1, la binomial se convierte, de hecho, en una distribución de Bernoulli.

La distribución binomial esta asociada a experimentos del siguiente tipo:

- Realizamos n veces cierto experimento en el que consideramos solo la posibilidad de éxito o fracaso.

- La obtención de éxito o fracaso en cada ocasión es independiente de la obtención de éxito o fracaso en las demás ocasiones.

- La probabilidad de obtener éxito o fracaso siempre es la misma en cada ocasión.

n = cantidad de ensayos o experimentos

k = cantidad de éxitos

p = probabilidad de éxito

q = probabilidad de fracasos (1-p)

Ejemplo: 1

En una jaula con 20 pericos 15 de ellos hablan ruso, si extraemos 6 pericos al azar, calcular la probabilidad de que 2 pericos hablen ruso.

Definir éxito: pericos que hablen ruso.

n=6

x=2

p=15/20=0.75

q=1–0.75= 0.25

Ejemplo: 2

De los alumnos del salón la cuarta parte réprobo el examen, si extraemos 8 alumnos al azar, calcular la probabilidad de que 4 de ellos hayan reprobado el examen.

Definir éxito: alumno reprobado

n = 8

x=4

p=0.25

q = 1 - 0.25 = 0.75

Por ejemplo vamos a construir el árbol de probabilidades de un proceso de Bernoulli de tres experimentos:

La distribución binomial se puede expresar de forma gráfica

Imaginemos una escuela primaria donde los alumnos llegan tarde a menudo. Cinco alumnos están en el jardín de niños. La directora lleva tiempo estudiando el problema, habiendo llegado a la conclusión de que hay una probabilidad de 0.4 de que un alumno llegue tarde y de que los alumnos lleguen independientemente uno de otro ¿Cómo trazamos una distribución binomial de probabilidad que ilustre las probabilidades de que 0,1,2,3,4 ó 5 estudiantes lleguen tarde simultáneamente? Para hacerlo necesitaremos utilizar la fórmula binomial donde :

P= 0.4

Q= 0.6

N= 5

Realicemos el cálculo de cada valor de R:

Para R= 0 obtenemos que :

P(0) = 5!/ 0!(5-0)! (0.4 )0 (0.6)5

P(0) = 0.07776

Para R= 1 obtenemos que :

P(1) = 5!/ 1!(5-1)! (0.4 )1 (0.6)4

P(1) = 0.2592

Para R=2 obtenemos que:

P(2) = 5!/ 2!(5-2)! (0.4 )2 (0.6)3

P(2) = 0.3456

Para R= 3 obtenemos que :

P(3) = 5!/ 3!(5-3)! (0.4 )3 (0.6)2

P(3) = 0.2304

Para R= 4 obtenemos que :

P(4) = 5!/ 4!(5-4)! (0.4 )4 (0.6)1

P(4) = 0.0768

Para R= 5 obtenemos que :

P(5) = 5!/ 5!(5-5)! (0.4 )5 (0.6)0

P(5) = 0.01024

Representando estos resultados en una gráfica:

DISTRIBUCION NORMAL

En estadística y probabilidad se llama distribución normal, distribución de Gauss o distribución gaussiana, a una de las distribuciones de probabilidad de variable continua que con más frecuencia aparece en fenómenos reales.

Esta distribución es frecuentemente utilizada en las aplicaciones estadísticas. Su propio nombre indica su extendida utilización, justificada por la frecuencia o normalidad con la que ciertos fenómenos tienden a parecerse en su comportamiento a esta distribución.

Muchas variables aleatorias continuas presentan una función de densidad cuya gráfica tiene forma de campana.

En otras ocasiones, al considerar distribuciones binomiales, tipo B(n,p), para un mismo valor de  p  y valores de  n  cada vez mayores, se ve que sus polígonos de frecuencias se aproximan a una curva en "forma de campana".

La gráfica de su función de densidad tiene una forma acampanada y es simétrica respecto de un determinado parámetro. Esta curva se conoce como campana de Gauss.

Aquí se muestran unos ejemplos de aplicación de la distribución normal con los datos respectivamente tipificados:

Aqui un pequeño tutorial :D